Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足：f（1）=3，且f（x）在R上為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)，若不等式對(duì)n∈N⁺恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=1，；b₁=1，，記，問是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求函數(shù)f（x）的解析式，只需找到關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程，解方程組即可．由題意可由f（1）=3，且f（x）在R上為奇函數(shù)得．
（2）先用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求S_n，得，S_n=，這時(shí)不等式可化為，在用作差法解不等式即可．
（3）分別用構(gòu)造法和累加法求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，再代入，然后假設(shè)存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，分k為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)求k的值．
解答：解：（1）由題意的，f（1）=a+b-c=3，f（-x）=f（x）對(duì)任意x∈R都成立，得f（x）=3x．
（2）=3（+…+）=（1+n），
∵化為，即對(duì)任意n∈N⁺恒成立，顯然m≤0不成立．
當(dāng)m＞0時(shí)，mⁿ＞0，
∴對(duì)任意n∈N⁺恒成立，
∴m＞對(duì)任意n∈N⁺恒成立．而的最大值為，
∴m＞．
（3）由a₁=1，，可得，
∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴=2n-1．
由b₁=1，，用累加法可得b_n=（n-1）²+1，
∴=，
 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g（k+1）=2g（k），（k+1-1）²+1=2（2k+1）得，k=1或k=3．
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，2k²-6k+3=0無(wú)偶數(shù)解．
綜上，存在k=1或k=3滿足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列，函數(shù)，不等式的綜合應(yīng)用，考查面廣，須認(rèn)真審題，找到個(gè)知識(shí)點(diǎn)的突破口．