【題目】已知函數(shù),其中常數(shù)
.
(Ⅰ)當(dāng),求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)定義在上的函數(shù)
在點
處的切線方程為
, 若
在
內(nèi)恒成立,則稱
為函數(shù)
的“類對稱點”,當(dāng)
時,試問
是否存在“類對稱點”,若存在,請求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;(Ⅱ)當(dāng)
時,函數(shù)
存在“類對稱點”.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)法一:
時,求出
的導(dǎo)數(shù),得到切線方程根據(jù)新定義問題等價于當(dāng)
時,
,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可;法二:猜想
存在“類對稱點”,其中一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)為
,然后加以證明即可.
試題解析:(Ⅰ)解 函數(shù)的定義域為
,因為
所以, 因
,
由,即
得
或
, 由
得
;
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;
(Ⅱ)解法一:當(dāng)時,
所以在點處的切線方程為
令
則
易知;
又=0
則
當(dāng)時,
,令
,則
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,所以當(dāng)
時,
,從而有
時,
;
當(dāng)時,
,令
,則
,所以
在
上單調(diào)遞減,所以當(dāng)
時,
,從而有
時,
;
所以當(dāng)時,函數(shù)
不存在“類對稱點”。 ……11分
當(dāng)時,
,所以
在
上是增函數(shù),
當(dāng)時,
,
當(dāng)時,
,
故恒成立
所以當(dāng)時,函數(shù)
存在“類對稱點”.
(Ⅱ)解法二
當(dāng)時,
所以在點處的切線方程為
若函數(shù)存在“類對稱點”
則等價當(dāng)時,
,當(dāng)
時
恒成立
當(dāng)時
恒成立,
等價于恒成立
即
令
而
要使在
恒成立,只要
在
單調(diào)遞增即可
所以,即
當(dāng)
時
恒成立,同理可得
,
所以
所以函數(shù)存在“類對稱點”,其中一個“類對稱點”橫坐標(biāo)為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以原點
為極點,
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知點
的極坐標(biāo)為
,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù))
(1)求點的直角坐標(biāo);化曲線
的參數(shù)方程為普通方程;
(2)設(shè)為曲線
上一動點,以
為對角線的矩形
的一邊垂直于極軸,求矩形
周長的最小值,及此時
點的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(x+ )+cosx,x∈R,
(1)求函數(shù)f(x)的最大值,并寫出當(dāng)f(x)取得最大值時x的取值集合;
(2)若α∈(0, ),f(α+
)=
,求f(2α)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等差數(shù)列,且a3=﹣6,a6=0.
(1)求{an}的通項公式.
(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1=8,b2=a1+a2+a3 , 求{bn}的前n項和公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長,已知a、b、c成等比數(shù)列,且a2﹣c2=ac﹣bc,
(1)求∠A的大;
(2)求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點
處的切線與曲線
的公共點的橫坐標(biāo)之和為3,求
的值;
(2)當(dāng)時,對任意
,使
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2))是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ) 圖象上的任意兩點,且角φ的終邊經(jīng)過點
,若|f(x1)﹣f(x2)|=4時,|x1﹣x2|的最小值為
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)當(dāng) 時,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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