Question

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在單位圓上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四邊形OAQP的面積為S．
（1）求

OA

•

OQ

+S的最大值及此時(shí)θ的值θ₀；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α，在（1）的條件下求cos（α+θ₀）．

Answer 1

分析：（1）由已知我們可得：

OA

•

OQ

+S=(

OA

)2+

OA

•

OP

+S=1+cosθ+sinθ，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，結(jié)合（0＜θ＜π），易給出

OA

•

OQ

+S的最大值及此時(shí)θ的值θ₀；
（2）由已知cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，根據(jù)（1）的結(jié)論θ0=

π

4

，代入兩角和的余弦函數(shù)公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）

OA

•

OQ

+S=

2

sin(θ+

π

4

)+1(0＜θ＜π)，
故

OA

•

OQ

+S的最大值是

2

+1，
此時(shí)θ0=

π

4

．
（2）cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
cos（α+θ₀）=cosαcosθ₀-sinαsinθ₀=-

7 2

10

．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進(jìn)行求解．