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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				
          已知兩個不共線的向量
          a
          ，
          b
          滿足
          a
          =(1，
          		3
          )，
          b
          =(cosθ，sinθ)(θ∈R)          ，
          （1）若2
          a
          -
          b
          與
          a
          -7
          b
          垂直，求向量
          a
          與
          b
          的夾角；
          （2）當(dāng)θ∈[0，
          π
          2
          ]          時，若存在兩個不同的θ使得|
          a
          +
          		3
          b
          |=|m
          a
          |          成立，求正數(shù)m的取值范圍．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）利用條件2
          a
          -
          b
          與
          a
          -7
          b
          垂直，建立方程關(guān)系，先求
          a
          •
          b
          ，然后求向量夾角．
          （2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于θ的方程，結(jié)合三角函數(shù)的圖象進(jìn)行化簡求范圍．
          解答：解：（1）∵2
          a
          -
          b
          與
          a
          -7
          b
          垂直，∴（2
          a
          -
          b
          ）•（
          a
          -7
          b
          ）=0，
          即2
          a
          2          +7
          b
          2          -15
          a
          ?
          b
          =0
          ∵
          a
          =(1，
          		3
          )，
          b
          =(cosθ，sinθ)(θ∈R)          ，
          ∴|
          a
          |=2，|
          b
          |=1          ，
          即2×22+7-15
          a
          ?
          b
          =0          ，
          解得
          a
          ?
          b
          =1          ，
          ∴設(shè)向量
          a
          與
          b
          的夾角為θ，則cos?θ=
          a
          ?
          b
          |
          a
          |?|
          b
          |
          =
          1
          2×1
          =
          1
          2
          ，
          ∴θ=
          π
          3
          ．
          （2）∵
          a
          =(1，
          		3
          )，
          b
          =(cosθ，sinθ)(θ∈R)          ，
          ∴|
          a
          |=2，|
          b
          |=1          ，
          a
          ?
          b
          =cos?θ+
          		3
          sin?θ=2sin?(θ+
          π
          6
          )          ，
          由|
          a
          +
          		3
          b
          |=|m
          a
          |          ，得
          a
          2          +2
          		3
          a
          ?
          b
          +3
          b
          2          =m2
          a
          2          ，
          即4m2=7+4
          		3
          sin?(θ+
          π
          6
          )          ，
          ∵θ∈[0，
          π
          2
          ]          ，
          ∴
          π
          6
          ≤θ+
          π
          6
          ≤
          2π
          3
          ，
          則要存在兩個不同的θ使得|
          a
          +
          		3
          b
          |=|m
          a
          |          成立，
          則
          π
          3
          ≤θ+
          π
          6
          ≤
          2π
          3
          且θ+
          π
          6
          ≠
          π
          2

          此時
          		3
          2
          ≤sin?(θ+
          π
          6
          )＜1          ，
          ∴13≤7+4
          		3
          sin?(θ+
          π
          6
          )＜7+4
          		3
          ，
          即13≤4m2＜7+4
          		3
          ，
          ∴
          13
          4
          ≤m2＜
          7+4
          		3
          4
          =(
          2+
          		3
          2
          )          2          ，
          ∵m＞0，
          ∴
          		13
          2
          ≤m＜
          2+
          		3
          2
          ．
          點評：本題主要考查平面向量的數(shù)量積以及利用向量和三角函數(shù)之間的關(guān)系的化簡和求值，綜合性較強(qiáng)，運算量較大．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知兩個不共線的向量a，b滿足a+2xb=xa+yb，那么實數(shù)x，y的值分別是（　�。�
          
                
          A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知兩個不共線的向量
          a
          ，
          b
          ，它們的夾角為θ，且|
          a
          |=3          ，|
          b
          |=1          ，x為正實數(shù)．
          （1）若
          a
          +2
          b
          與
          a
          -4
          b
          垂直，求tanθ；
          （2）若θ=
          π
          6
          ，求|x
          a
          -
          b
          |          的最小值及對應(yīng)的x的值，并判斷此時向量
          a
          與x
          a
          -
          b
          是否垂直？
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知兩個不共線的向量
          a
          ，
          b
          ，它們的夾角為θ，且|
          a
          |=3          ，|
          b
          |=1          ，若
          a
          +
          b
          與
          a
          -4
          b
          垂直，則sin(θ+
          π
          6
          )          =
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知兩個不共線的向量
          a
          ，
          b
          的夾角為θ，且|
          a
          |=3，|
          b
          |=1，x為正實數(shù)．
          （1）若
          a
          +2
          b
          與
          a
          -4
          b
          垂直，求tanθ；
          （2）若θ=
          π
          6
          ，求|x
          a
          -
          b
          |的最小值及對應(yīng)的x的值，并指出此時向量
          a
          與x
          a
          -
          b
          的位置關(guān)系；
          （3）若θ為銳角，對于正實數(shù)m，關(guān)于x的方程|x
          a
          -
          b
          |=|m
          a
          |有兩個不同的正實數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍．
          

			
          

			
          
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