Question

解答題：解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 如圖，在四棱錐中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝， ，． (1) 求點D到平面PBC的距離； (2) 求二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：如圖，在四棱錐中， ∵BC∥AD，從而點D到平面PBC間的距離等于點A 到平面PBC的距離． ∵∠ABC＝，∴AB⊥BC， 又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC， ∴BC⊥平面PAB，………………2分 ∴平面PAB⊥平面PBC，交線為PB， 過A作AE⊥PB，垂足為E，則AE⊥平面PBC， ∴AE的長等于點D到平面PBC的距離． 而，∴．………………5分 即點D到平面PBC的距離為．………………6分 　　解法二：如圖，以A為原點，分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系． 依題意，， ∴， ∴．則，，， ， ∴，，． 設(shè)平面PBC的一個法向量為，則 令，得， 則點D到平面PBC的距離等于．……………6分
(2)	方法一：∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD， 引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，則CM⊥平面PAD， ∴MN是CN在平面PAD上的射影， 由三垂線定理可知CN⊥PD， ∴∠CNM是二面角的平面角．…………9分 依題意，， ∴，∴， 可知，∴， ， ∴二面角的大小為．………………12分 　　方法二：∵AB⊥PA，AB⊥AD， ∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一個法向量為． 設(shè)平面PDC的一個法向量為， ∵，，∴ 令，得，∴． ∵二面角是銳二面角， ∴二面角的大小為．………………12分