Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形的三邊所在直線

的斜率滿足．

（1）求點(diǎn)P的軌跡的方程；

（2）設(shè)Q是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，若，直線與交于點(diǎn)M，探究是否存點(diǎn)P使得和的面積滿足，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，由得，，

整理得的方程為（且）�！�…4分（注：不寫范圍扣1分）

（2）解法一、設(shè)，

，，，即， ………6分

三點(diǎn)共線，與共線，∴，

由（1）知，故，         ………8分

同理，由與共線，

∴，即，

由（1）知，故，…………9分

將，代入上式得，

整理得，由得，         …………11分

由，得到，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811304018039849/SYS201209081131103991831576_DA.files/image011.png">，所以，

由，得，  ∴的坐標(biāo)為．           …………14分

解法二、設(shè)由得，

故，即，                          ………6分

∴直線OP方程為：   ①；                            …………8分

直線QA的斜率為：，            

∴直線QA方程為：，即， ②  …10分

聯(lián)立①②，得，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值�！�………11分

由，得到，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811304018039849/SYS201209081131103991831576_DA.files/image011.png">，所以，

由，得，  ∴的坐標(biāo)為．           …………14分

【解析】考查向量知識(shí)在幾何中的運(yùn)用，實(shí)際上就是用坐標(biāo)表示向量，再進(jìn)行運(yùn)算；（Ⅱ）的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由k_OP+k_OA=k_PA得從而就可以得到軌跡C的方程；

（2）設(shè)出點(diǎn)PQ,M的坐標(biāo)，然后利用三點(diǎn)共線得到坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而再由面積得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。