Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)、的距離之和等于4．設(shè)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)直線與交于、兩點(diǎn)，若，求的值．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)到兩點(diǎn)、的距離之和等于4，由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓，由此可求曲線的方程；
（2）設(shè)，，利用，可得，把代入橢圓方程，消去可得，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求實(shí)數(shù)的值．
試題解析：（1）設(shè),由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦距，長(zhǎng)半軸為的橢圓.它的短半軸 ,故曲線C的方程為.
（2）設(shè)，，其坐標(biāo)滿足，
消去并整理得，    (*)
故.
若，即，即，化簡(jiǎn)得，所以滿足(*)中，故即為所求.
考點(diǎn)：軌跡方程；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．