Question

已知函數(shù)f(x)=log_a(a^x-1)(a＞0且a≠1).

(1)求f(x)的定義域；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值大于1；

(3)討論f(x)的單調(diào)性；

(4)解方程f(2x)=f^-1(x).

Answer 1

解：(1)a^x-1＞0a^x＞a⁰，當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0.

(2)log_a(a^x-1)＞1=log_aa,

∴l(xiāng)og_a(a^x-1)＞log_aa.

當(dāng)a＞1時(shí)，a^x＞a+1x＞log_a(a+1)；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

1＜a^x＜a+1log_a(a+1)＜x＜0.

(3)當(dāng)a＞1，x∈(0,+∞)時(shí)，f(x₂)-f(x₁)=log_a;當(dāng)0＜a＜1，x∈(-∞,0)時(shí)，f(x₂)-f(x₁)=log_a＞0.

∴f(x)在定義域上是增函數(shù).

(4)∵f(2x)=f^-1(x),

∴l(xiāng)og_a(a^2x-1)=log_a(a^x+1).

∴a^2x-1=a^x+1＞0.

∴a^x=2或a^x=-1(舍去).

∴x=log_a2.