Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（幾何證明選做題）
如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點D，且PB=4，PD=3，則AD•DC=

7

．
（B）（極坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
若直線l：x-

3

y=0與曲線C：

x=a+ 2 cos? y= 2 sin?

(?為參數(shù)，a＞0）有兩個公共點A、B，且|AB|=2，則實數(shù)a的值為

2

．
（C）（不等式選做題）
不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集為

.

x

.

-1＜x＜1

．

Answer 1

分析：（A）以P為圓心，以PA=PB為半徑作圓，延長BD交圓于M，如圖，證明C在圓上，利用AD•DC=BD•DM來求出它的值．
（B）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)∅，化為普通方程為 （x-a）²+y²=2 ①，求出圓心C到直線的距離d，由弦長公式求得實數(shù)a的值；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入①化簡可得
曲線C的極坐標(biāo)方程．
（C）不等式|2x-1|-|x-2|＜0 即|2x-1|＜|x-2|，平方可得 3x²＜3，由此求得不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集．

解答：解：（A）以P為圓心，以PA=PB為半徑作圓，延長BD交圓于M，如圖：PA=PB=4，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點D，PD=3，
設(shè)∠ACB=θ，則∠APM=2θ，又∠ACB=θ，∴C在圓上．
∴AD•DC=BD•DM=BD•（PM+PD）=1•（4+3）=7，
故答案為 7．
（B）由C：

x=a+ 2 cos? y= 2 sin?

可得 x-a=

2

cos∅，y=

2

sin∅，平方相加可得 （x-a）²+y²=2 ①，
表示以C（a，0）為圓心，以

2

為半徑的圓，圓心C到直線l的距離等于d=

|a-0|

1+3

=

a

2

．
再由弦長公式可得

|AB|

2

=1=

r2-d 2

=

2- a2 4

，解得a=2，
故答案為 2．
（C）不等式|2x-1|-|x-2|＜0 即|2x-1|＜|x-2|，平方可得 3x²＜3，解得-1＜x＜1，
故答案為 {x|-1＜x＜1 }．

點評：本題主要考查四點共圓的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，絕對值不等式的解法，屬于中等題