Question

（本小題滿分12分）  
設(shè)，  ．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；
（3）如果對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）
（2）4
（3）

解：（1）當(dāng)時(shí)，，，
，，
所以曲線在處的切線方程為；         2分
（2）存在，使得成立
等價(jià)于：，
考察，，

		遞減	極（最）小值	遞增

   
由上表可知：，
，
所以滿足條件的最大整數(shù)；                        6分
（3）對(duì)任意的，都有成立
等價(jià)于：在區(qū)間上，函數(shù)的最小值不小于的最大值，
由（2）知，在區(qū)間上，的最大值為。
，下證當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)恒成立。
當(dāng)且時(shí)，，
記，，  
當(dāng)，；當(dāng)，
，
所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，
，即，    
所以當(dāng)且時(shí)，成立，
即對(duì)任意，都有。                12分
（3）另解：當(dāng)時(shí)，恒成立
等價(jià)于恒成立，
記，，  。
記，，由于，
,  所以在上遞減，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
所以，所以