Question

已知二次函數(shù)，，的最小值為．
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵設，若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
⑶設函數(shù)，若此函數(shù)在定義域范圍內不存在零點，求實數(shù)的取值范圍.[

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

解析試題分析：(1)由可設，再由的最小值求a的值；（2）首先對
二次項系數(shù)分、、三種情況討論，然后確定對稱軸與給定區(qū)間
端點的關系；（3）要滿足題意，須有有解，且無解.然后求
的最小值，令，但不屬于的值域，即可得實數(shù)的取值范圍。
⑴ 由題意設，
∵的最小值為， ∴，且， ∴ ，
∴ .
⑵ ∵，
①當時，在[-1, 1]上是減函數(shù)，∴ 符合題意.
② 當時，對稱軸方程為：，
�。┊�，即 時，拋物線開口向上，
由，  得  ， ∴；
ⅱ）當， 即時，拋物線開口向下，
由，得 ， ∴.
綜上知，實數(shù)的取值范圍為.
⑶法一：∵ 函數(shù)在定義域內不存在零點，必須且只須有
有解，且無解.
∴，且不屬于的值域，
又∵，
∴的最小值為，的值域為，
∴，且
∴的取值范圍為.
法二：，令，
必有，得，
因為函數(shù)在定義域內不存在零點，，
得，即，又（否則函數(shù)定義域為空集，不是函數(shù)），
的取值范圍是。
考點：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；（2）二次項系數(shù)及二次函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間引起的分類討論；（3）構造函數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)。