Question

已知函數(shù)f（x）的圖象由函數(shù)•向左平移1個單位得到．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值是m，且m＞，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)平移的性質(zhì)進行求解；
（2）把a=1代入f（x），再根據(jù)均值不等式進行求解；
（3）對f（x）進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，對a進行討論，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而進行求解；
解答：解：（1）∵已知函數(shù)f（x）的圖象由函數(shù)•向左平移1個單位得到
依題意：f（x）=（-）•2^x+
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=•2^x+≥2•=3；
（3）∵f′（x）=（-）•2^x•ln2+
=，
∴由f′（x）＞0，得：（）•（2^x）²＞4a-1  ①
①當(dāng)，即a＜0，時，（2^x）²＞，
當(dāng)x＜log₂時，函數(shù)f（x）遞增，
當(dāng)x＞log₂時，函數(shù)f（x）遞減，
∴函數(shù)f（x）只有最大值，矛盾；
②當(dāng)，即0＜a≤時，①式的解集為R，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
不存在最小值；
③當(dāng)，即a≥4時，①式的解集為∅．
此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，不存在最小值；
④當(dāng)，即時，（2^x）²＞，
∴當(dāng)x＞log₂時，函數(shù)f（x）遞增，
當(dāng)x＜log₂時，函數(shù)f（x）遞減，
∴函數(shù)f（x）當(dāng)=log₂時，有最小值2，
∴2＞，
∴＜a＜2，
綜上所述，滿足題意設(shè)條件的實數(shù)a的取值范圍是（，2）．
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性就是隨著x的變大，y在變大就是增函數(shù)，y變小就是減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度比較大；