Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF₁|為半徑的圓與該橢圓左半部分的兩個交點(diǎn)，且△F₂AB是等邊三角形，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、

  3

  -1
• D、

  2

  2

Answer 1

分析：連結(jié)AF₁，根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形，由此得到|F₁A|=c且|F₂A|=

3

c．再利用橢圓的定義，得到2a=|F₁A|+|F₂A|=（1+

3

）c，即可算出該橢圓的離心率．

解答：解：連結(jié)AF₁，
∵F₁F₂是圓O的直徑，∴∠F₁AF₂=90°，即F₁A⊥AF₂，
又∵△F₂AB是等邊三角形，F(xiàn)₁F₂⊥AB，
∴∠AF₁F₂=

1

2

∠AF₂B=30°，
因此，在Rt△F₁AF₂中，|F₁F₂|=2c，|F₁A|=

1

2

|F₁F₂|=c，|F₂A|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c．
根據(jù)橢圓的定義，得2a=|F₁A|+|F₂A|=（1+

3

）c，解得a=

1+ 3

2

c，
∴橢圓的離心率為e=

c

a

=

3

-1．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，考查學(xué)生的計算能力，證出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形是關(guān)鍵．