Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，點(diǎn)在f（x）=x+2的圖象上，且S₁=
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2（1-n）a_n求f（n）=的最大值及相應(yīng)的n的值；
（3）在（2）的條件下當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)Tn=++…．證明：T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由n≥2時(shí)，點(diǎn)在f（x）=x+2的圖象上，易得數(shù)列{}是一個(gè)以2為公差的等差數(shù)列，求出S_n的通項(xiàng)公式后，由n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=2（1-n）a_n，結(jié)合（1）中數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，進(jìn)而得到f（n）的表達(dá)式，進(jìn)行利用基本不等式，求出f（n）的最大值及相應(yīng)的n的值；
（3）由（2）中數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用放縮法和裂項(xiàng)相消法，可得 T_n＜1-＜1．
解答：解：（1）∵n≥2時(shí)，點(diǎn)在f（x）=x+2的圖象上，
∴=2，（n≥2）
故數(shù)列{}是一個(gè)以2為公差的等差數(shù)列
又∵S₁=，=2
∴=2n，即S_n=
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-=
又∵n=1時(shí)，無(wú)意義
故a_n=
（2）∵b_n=2（1-n）a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=2（1-n）•=
∴f（n）===≤
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=2，即n=1時(shí)取等
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，
Tn=++…
=++…+
＜++…+
=1-+-+…+-
=1-＜1
即T_n＜1
點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，熟練掌握數(shù)列的函數(shù)特征，掌握數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的常用方法和技巧是解答的關(guān)鍵．