Question

一種填數(shù)字彩票2元一張，購買者在卡上依次填上0～9中的兩個數(shù)字（允許重復）．中獎規(guī)則如下：
如果購買者所填的兩個數(shù)字依次與開獎的兩個有序數(shù)字分別對應相等，則中一等獎10元；
如果購買者所填的兩個數(shù)字中，只有第二個數(shù)字與開獎的第二個數(shù)字相等，則中二等獎2元；
其他情況均無獎金．
（Ⅰ）小明和小輝在沒有商量的情況下各買一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；
（Ⅱ）設(shè)“購買一張這種彩票中一等獎”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件B，請指出事件A∪B的含義，并求事件A∪B發(fā)生的概率；
（Ⅲ）設(shè)購買一張這種彩票的收益為隨機變量ξ，求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，小明中一等獎的概率是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件由分步計數(shù)原理知共有10×10種結(jié)果，滿足條件的事件是1個，得到小明中一等獎的概率，由相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式得到結(jié)果．
（2）事件A∪B的含義是“買這種彩票中獎”，購買一張這種彩票能夠中獎包括中一等獎或中二等獎，由第一問可知中一等獎的概率，算出中二等獎的概率，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（3）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，ξ的 取值可能為-2，0，8，然后求出相應的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式進行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，
小明中一等獎的概率是一個古典概型，
試驗發(fā)生的所有事件由分步計數(shù)原理知共有10×10種結(jié)果，
滿足條件的事件是1個，
小明（小輝）中一等獎的概率為P=0.01
由相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式得到
∴小明，小輝都中一等獎的概率為p=0.01×0.01=0.0001
（Ⅱ）事件A∪B的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”
顯然，事件A與事件B互斥，
所以，P（A∪B）=P（A）+P（B）=+=0.1
故購買一張這種彩票能中獎的概率為0.1．
（Ⅲ）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，ξ的分布列如下：

ξ	-2		8
P	0.9	0.09	0.01

Eξ=-2×0.9+8×0.01=-1.72
購買一張這種彩票的期望收益為損失1.72元．
點評：本題包括古典概型，相互獨立事件同時發(fā)生和互斥事件的概率，實際上古典概型是解題的基礎(chǔ)，學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎(chǔ)，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題．