Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意n∈N^*，是否存在正實(shí)數(shù)λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
∴

2+2d+2q3=24 10+10d-2q3=24

，解得

d=3 q=2

．
∴an=3n-1，bn=2n
（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，
∴3n-1-9≤λ•2ⁿ，即λ≥

3n-10

2n

對(duì)任意n∈N^*恒成立．
設(shè)cn=

3n-10

2n

，
則cn+1-cn=

3(n+1)-10

2n+1

-

3n-10

2n

=

13-3n

2n+1

，
當(dāng)n≥5時(shí)，c_n+1＜c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
當(dāng)1≤n＜5時(shí)，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．
又c4=

1

8

＜c5=

5

32

，
所以當(dāng)n=5時(shí)，c_n取得最大值

5

32

所以要使λ≥

3n-10

2n

對(duì)任意n∈N^*恒成立，
則λ≥

5

32

，
即λmin=

5

32

．