已知
.
（1）求
的極值，并證明：若
有
；
（2）設(shè)
，且
，
，證明：
，
若
，由上述結(jié)論猜想一個一般性結(jié)論（不需要證明）；
（3）證明：若
，則
.
(1)詳見解析；(2) 詳見解析；(3) 詳見解析.
解析試題分析：(1)利用求導(dǎo)探求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定其極值；借助結(jié)論
時
恒成立，證明；（2）借助第一問的結(jié)論，通過拼湊技巧進(jìn)行構(gòu)造要證明的不等式；（3）借助第二問的猜想結(jié)論，進(jìn)行構(gòu)造，利用對數(shù)運算進(jìn)行化簡整理即可得到證明的結(jié)論.
試題解析：（1）
則
當(dāng)x∈（0，1）時
，x∈（1，＋∞）時
，
∴
在（0，1）遞增，在（1，＋∞）遞減，
2分
∴當(dāng)時
恒成立，即時恒成立。
∴
4分
證明：，
（2）證明：設(shè)，且，令
，則
，且
，
，
由（1）可知
①
②
①
+②
，得
∴
8分
猜想：若，且
時有
9分
（3）證明：令
由猜想結(jié)論得
=
∴
，
即有
。 14分
考點：(1)函數(shù)的極值；（2）不等式的證明.
天天向上一本好卷系列答案
小學(xué)生10分鐘應(yīng)用題系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)
為實數(shù)，函數(shù)
(Ⅰ)求
的單調(diào)區(qū)間與極值；
(Ⅱ)求證：當(dāng)
且
時，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知
為函數(shù)
圖象上一點，O為坐標(biāo)原點，記直線
的斜率
．
（1）若函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng) 
時，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知
的導(dǎo)函數(shù)
，且
，設(shè)
，
且
．
（Ⅰ）討論
在區(qū)間
上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如下圖，過曲線
：
上一點
作曲線的切線
交
軸于點
，又過
作 軸的垂線交曲線于點
，然后再過作曲線的切線
交軸于點
，又過
作軸的垂線交曲線于點
，
，以此類推，過點
的切線
與軸相交于點
，再過點
作軸的垂線交曲線于點
（
N
）．
(1) 求
、
及數(shù)列
的通項公式；(2) 設(shè)曲線與切線及直線
所圍成的圖形面積為
，求的表達(dá)式； (3) 在滿足(2)的條件下, 若數(shù)列
的前
項和為
，求證：
N
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知
(Ⅰ)如果函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為
,求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)對一切的
,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍
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.
的最小正周期
；
，
，
，以及
圍成的平面圖形的面積．
在區(qū)間[1,3]上的極值。
.
時，
，求
的最小值；
的通項
，證明：
.