Question

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a₁,a₂,a₃,…,a_n,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b₁,b₂,b₃,…,b_n,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記A_n=a₁a₂a₃…a_n,B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n.

(1)求數(shù)列{A_n}和{B_n}的通項(xiàng)；

（2）當(dāng)n≥7時(shí)，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：（1）∵1，a₁,a₂,a₃,…,a_n,2成等比數(shù)列，

∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2.

∴A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)ⁿ=2ⁿ.

∴A_n=.∵1,b₁,b₂,b₃,…,b_n,2成等差數(shù)列，

∴b₁+b_n=1+2=3.

∴B_n=·n=n.

∴數(shù)列{A_n}的通項(xiàng)A_n=數(shù)列{B_n}的通項(xiàng)B_n=n.

(2)∵A_n=,B_n=n,∴A_n²=2ⁿ,B_n²=n².要比較A_n與B_n的大小，只需比較A_n²與B_n²的大小,也即比較當(dāng)n≥7時(shí)，2ⁿ與n²的大小.當(dāng)n=7時(shí)，2ⁿ=128,n²=×49,得知2ⁿ＞n².

經(jīng)驗(yàn)證，n=8，n=9時(shí)均有命題2ⁿ＞n²

成立.猜想當(dāng)n≥7時(shí)，有2ⁿ＞n²,用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=7時(shí)，已驗(yàn)證2ⁿ＞n²,命題成立.

②假設(shè)n=k(k≥7)時(shí)命題成立，即2^k＞k²,那么2^k+1＞2×k².又當(dāng)k≥7時(shí)，有k²＞2k+1.

∴2^k+1＞×(k²+2k+1)=(k+1)².這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題2ⁿ＞n²成立.

根據(jù)①②，可知命題對(duì)于n≥7都成立.故當(dāng)n≥7時(shí)，A_n＞B_n.