Question

已知等比數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)a₁=1，且a₄，3a₃，a₅成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{a_n+1-λa_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用的等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的定義和其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
由條件，q³，3q²，q⁴成等差數(shù)列，∴6q²=q³+q⁴
解得q=-3，或q=2，
∵q＞0，∴取q=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=1×2n-1=2n-1．
（2）記b_n=a_n+1-λa_n，則bn=2n-λ•2n-1=(2-λ)2n-1
若λ=2，b_n=0，S_n=0不符合條件；   
若λ≠2，則

bn+1

bn

=2，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2-λ，公比為2．
此時(shí)Sn=

(2-λ)

1-2

(1-2n)=(2-λ)(2n-1)，
∵Sn=2n-1(n∈N*)，
∴λ=1．

點(diǎn)評：熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其定義和其前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．