Question

在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點(diǎn)E正北方向55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A，某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40

2

海里的位置B，經(jīng)過80分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A正東方向且與點(diǎn)A相距20海里的位置C．
（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；
（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先以點(diǎn)A為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閄軸正半軸建系如圖，得出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式得BC從而求得小船速度即可；
（Ⅱ）欲判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，只須比較圓心E到直線BC的距離圓的半徑的大小即可．

解答：解：（Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閄軸正半軸建系如圖則：C（20，0），
設(shè)B的坐標(biāo)為（m，n）；
易得m=40

2

×

2

2

=40，n=40

2

×

2

2

=40，
則B的坐標(biāo)為（40，40），
則BC=

(40-20)2+(40-0)2

=20

5

，
所以，小船速度v=

20 5

4 3

=15

5

（海里/小時(shí)）
（Ⅱ）根據(jù)題意，B（40，40），C（20，0），
BC直線方程為：2x-y-40=0，
E=（0，-55），E到直線BC的距離為d=

|0-(-55)-40|

5

=3

5

＜7，
故小船會(huì)進(jìn)入警戒水域．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，注意選擇正確的坐標(biāo)系以及合理的定理解答是解好題目的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．