Question

【題目】如圖，在正方體AC1中，過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（ ）

A.點(diǎn)H是△A1BD的垂心
B.AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1
C.AH垂直平面CB1D1
D.直線AH和BB1所成角為45°

Answer 1

【答案】D
【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)槿�棱錐A﹣A1BD是正三棱錐，故頂點(diǎn)A在底面的射影是底面正三角形的中心，所以點(diǎn)H是也是△A1BD的垂心，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)槿�棱錐C1﹣A1BD是正三棱錐，而H是底面的中心，故C1H是正三棱錐C1﹣A1BD的高線，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)H與平面A1BD垂直的直線有且只有一條，故A、H、C1三點(diǎn)共線，即AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1 ， 故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍭1BD∥平面CB1D1 ， 而AH垂直平面A1BD，所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得AH垂直平面CB1D1 ， 故C正確；
對(duì)于D，可在正三棱錐A﹣A1BD中，算出cos∠A1AH= ，結(jié)合AA1∥BB1 ， 可得直線AH和BB1所成角為arccos ，故D不正確．
故選D
因?yàn)槿�棱錐A﹣A1BD是正三棱錐，所以H是正三角形﹣A1BD的中心，故A正確；根據(jù)正三棱錐A﹣A1BD和正三棱錐C1﹣A1BD的高線都經(jīng)過(guò)H點(diǎn)，結(jié)合垂線的唯一性可得B正確；根據(jù)平面A1BD∥平面CB1D1 ， 結(jié)合面面平行的性質(zhì)，得到C正確；通過(guò)計(jì)算可得直線AH和BB1所成角為arccos ，故D不正確．