Question

設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）滿足條件：
①對稱軸方程是x=-1；②函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）不等式f（x-t）≤x的解集是[4，m]（m＞4），求t，m的值．

Answer 1

分析：（1）對稱軸的計算公式可得到a，b的關系，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，則可知函數(shù)與直線的方程組只有一解，由這兩個條件，可得a，b的值，從而得到函數(shù)解析式．
（2）首先算出f（x-t），代入不等式可知f（x-t）=x的根為4和m，分別代入，即可得到4和m的值．

解答：解：（I）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸方程是x=-1
∴b=2a∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴方程組

y=ax2+bx y=x

有且只有一解；
即ax²+（b-1）x=0有兩個相同的實根，
∴b=1，a=

1

2

．∴函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=

1

2

x2+x．（7分）
（其它做法相應給分）

（II）∵不等式f（x-t）≤x的解集為[4，m]（m＞4）
即

1

2

(x-t)2+(x-t)≤x的解集為[4，m]．
∴方程

1

2

(x-t)2+(x-t)=x的兩根為4和m．
即方程x²-2tx+t²-2t=0的兩根為4和m．
∴

4+m=2t 4m=t2-2t

(m＞4)
解得，t=8，m=12，∴t和m的值分別為8和12．（13分）

點評：此題主要考查二次函數(shù)的解析式求解及根的求解和性質(zhì)．