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        1. 已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.
          (Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值h(t);
          (Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
          分析:(1)本題考查的是定函數(shù)與動(dòng)區(qū)間的問(wèn)題,是一元二次函數(shù)中的一動(dòng)一定的問(wèn)題,解題時(shí)要針對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論,即對(duì)稱軸在區(qū)間上,或是在區(qū)間的左邊或右邊.
          (2)遇到關(guān)于兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,一般是構(gòu)造新函數(shù),題目轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的最值,把函數(shù)的最值同0進(jìn)行比較,得到結(jié)果.
          解答:解:(I)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
          當(dāng)t+1<4,即t<3時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,
          h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;
          當(dāng)t≤4≤t+1,即3≤t≤4時(shí),h(t)=f(4)=16;
          當(dāng)t>4時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞減,
          h(t)=f(t)=-t2+8t.
          綜上,h(t)=
          -t2+6t+7,t<3
          16,3≤t≤4
          -t2+8t,t>4

          (II)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),
          即函數(shù)m(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).
          ∵m(x)=x2-8x+6lnx+m,
          ?′(x)=2x-8+
          6
          x
          =
          2x2-8x+6
          x
          =
          2(x-1)(x-3)
          x
          (x>0)
          ,
          當(dāng)x∈(0,1)時(shí),m'(x)>0,m(x)是增函數(shù);
          當(dāng)x∈(1,3)時(shí),m'(x)<0,m(x)是減函數(shù);
          當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),m'(x)>0,m(x)是增函數(shù);
          當(dāng)x=1,或x=3時(shí),m'(x)=0.
          ∴m(x)最大值=m(1)=m-7,m(x)最小值=m(3)=m+6ln3-15.
          ∵當(dāng)x充分接近0時(shí),m(x)<0,當(dāng)x充分大時(shí),m(x)>0.
          ∴要使m(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),必須且只須
          ?(x)最大值=m-7>0
          ?(x)最小值=m+6ln3-15<0

          即7<m<15-6ln3.
          ∴存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),m的取值范圍為(7,15-6ln3).
          點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí),考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,考查運(yùn)算能力,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
          (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
          (2)若函數(shù)y=f(2x+
          π
          4
          )
          的圖象關(guān)于直線x=
          π
          6
          對(duì)稱,求φ的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
          (1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
          (2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
          (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
          1
          x

          (2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
          m
          2
          ]
          ,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
          1
          f(n)
          }
          的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
          A、
          2011
          2012
          B、
          2010
          2011
          C、
          2009
          2010
          D、
          2008
          2009

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
           

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