Question

設(shè)函數(shù)f(x)=cosωx(

3

sinωx+cosωx)，其中0＜ω＜2．（I）若f（x）的周期為π，當(dāng)-

π

6

≤x≤

π

3

時(shí)，求f(x)的值域；（II）若函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為x=

π

3

，求ω的值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式及輔助角公式把不同名的三角函數(shù)化簡(jiǎn)為只含一個(gè)角的三角函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)周期公式可求ω，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域
（II）采用整體思想求解，由函數(shù)的對(duì)稱軸為

π

3

可知，2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，K∈Z，由ω的范圍解出k的范圍，結(jié)合已知k∈Z可求k及ω的值

解答：解：（I）f(x)=

3

sin ωxcosωx+cos2ωx=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

∵T=π，ω＞0∴

2π

2ω

=π∴ω=1
當(dāng)-

π

6

≤x≤

π

3

即 2x+

π

6

∈[ -

π

6

，

5π

6

]時(shí)，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)∈[0，

3

2

]∴f（x）的值域?yàn)?span id="tqhouqv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[0，

3

2

]
（II）f(x)=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

的對(duì)稱軸為x=

π

3

∴2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，K∈Z∴ω=

3K+1

2

∵0＜ω＜2∴-

1

3

＜K＜1       k=0，ω=

1

2

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的圖象與位置特征要準(zhǔn)確掌握，如對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)），對(duì)稱中心是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)的其他特征量：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值的取得條件常采用整體思想．