Question

通常情況下，同一地區(qū)一天的溫度隨時間變化的曲線接近于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的圖象.2013年1月下旬荊門地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時，最高溫度為14°C；最低溫度出現(xiàn)在凌晨2時，最低溫度為零下2°C．
（Ⅰ）請推理荊門地區(qū)該時段的溫度函數(shù)y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，t∈[0，24））的表達(dá)式；
（Ⅱ）29日上午9時某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10°C，教室就要開空調(diào)，請問屆時學(xué)校后勤應(yīng)該送電嗎？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)最大、最小值的和與差，算出A=8且b=6，由函數(shù)的周期為24算出ω=

π

12

，再根據(jù)當(dāng)x=2時函數(shù)有最小值，算出φ=-

2π

3

即可得到所求溫度函數(shù)的表達(dá)式；
（II）算出函數(shù)當(dāng)x=9時的函數(shù)值f（9），利用特殊三角函數(shù)值算出f（9）＜10，得到此時滿足開空調(diào)的條件，所以應(yīng)該開空調(diào)．

解答：解：（I）∵最高溫度為14°C，最低溫度為零下2°C．
∴A=

1

2

[14-(-2)]=8，b=

1

2

[14+(-2)]=6，
∵函數(shù)的周期T=24，∴ω=

2π

24

=

π

12

由

π

12

•2+φ=-

π

2

+2kπ，|φ|＜π，可得φ=-

2π

3

（5分）
∴函數(shù)表達(dá)式為y=8sin(

π

12

x-

2π

3

)+6（6分）；
（II）當(dāng)x=9時，y=8sin(

π

12

•9-

2π

3

)+6=8sin

π

12

+6（8分）
∵sin

π

12

＜sin

π

6

，∴y=8sin

π

12

+6＜8sin

π

6

+6=10，（11分）     
溫度低于10°C，滿足開空調(diào)的條件，所以應(yīng)該開空調(diào)．（12分）

點(diǎn)評：本題給出實際應(yīng)用問題，求函數(shù)表達(dá)式并確定某個時刻能否開空調(diào)．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．