Question

函數(shù)f（x）=x²+c，且f[f（x）]=f（x²+1）
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=f[f（x）]，求g（x）的解析式．
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-mf（x），若h（x）在（-∞，-1]上是減函數(shù)，在[-1，0）上是增函數(shù)，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法即可求g（x）的解析式．
（2）求出函數(shù)h（x）=g（x）-mf（x）的表達(dá)式，利用h（x）在（-∞，-1]上是減函數(shù)，在[-1，0）上是增函數(shù)，可知x=-1是函數(shù)的一個極小值，然后利用導(dǎo)數(shù)即可求出m的值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+c，且f[f（x）]=f（x²+1）
∴f（x²+c）=f（x²+1），
即（x²+c）²+c=（x²+1）²+c，
即c=1，
∴f（x）=x²+1，g（x）=f[f（x）]=f（x²+1）=（x²+1）²+1．
（2）由（1）可知：f（x）=x²+1，g（x）=x⁴+2x²+2，
∵h(yuǎn)（x）=g（x）-mf（x），
∴h（x）=x⁴+（2-m）x²+2-m，
∴h′（x）=4x³+2（2-m）x
假設(shè)存在使的h（x）在（-∞，-1]上是減函數(shù)，并且在[-1，0）上是增函數(shù)．
則h′（-1）=0
∴-4-2（2-m）=0，
∴m=4．
此時：h（x）=x⁴-2x²-2，∴h′（x）=4x³-4x．
由h′（x）＞0解得，x∈（-1，0）∪（1，+∞）；
由h′（x）＜0解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故滿足題意．
∴存在m=4使的h（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)解析式的求法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力．