Question

已知x+y=1，若不等式 

1

x

+

a

y

≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)不等式

1

x

+

a

y

≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，可得（

1

x

+

a

y

）_min≥9，利用1的代換，求出

1

x

+

a

y

最小值，即可求得結(jié)論．

解答：解：∵不等式

1

x

+

a

y

≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，
∴（

1

x

+

a

y

）_min≥9
∵正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，
∴

1

x

+

a

y

=（x+y）（ 

1

x

+

a

y

）=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

a

∴1+a+2

a

≥9
∴1+

a

≥3
∴a≥4
∴正實(shí)數(shù)a的最小值為4
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將不等式

1

x

+

a

y

≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，轉(zhuǎn)化為（

1

x

+

a

y

）_min≥9，屬于中檔題．本題解法是此類題的通用解法，要好好體會(huì)