Question

（03年北京卷理）（15分）

如圖，已知橢圓的長軸與軸平行，短軸在軸上，中心（

（Ⅰ）寫出橢圓方程并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于，（），直線與橢圓次于，（）．求證：；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的在，設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：橢圓方程為

          焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

          離心率

（Ⅱ）證明：證明：將直線CD的方程代入橢圓方程，得

            

 整理得

            

        根據(jù)韋達(dá)定理，得

             ，，

        所以             ①

        將直線GH的方程代入橢圓方程，同理可得

                         ②

      由 ①、②得    =       

      所以結(jié)論成立

（Ⅲ）證明：設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)Q

           由C、P、H共線，得  

          解得  

          由D、Q、G共線，同理可得   

                

         由 = 變形得

          =

         所以 

         即