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        1. 在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,滿足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如圖1).將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B、A1P(如圖2)精英家教網(wǎng)
          (Ⅰ)求證:A1E⊥平面BEP;
          (Ⅱ)求直線A1E與平面A1BP所成角的大;
          (Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函數(shù)表示).
          分析:本小題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識,以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計算等,考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力.
          解答:精英家教網(wǎng)解:解法一:不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3
          (1)在圖1中,取BE中點D,連接DF.AE:EB=CF:FA=1:2
          ∴AF=AD=2而∠A=60°,
          ∴△ADF是正三角形,又AE=DE=1,
          ∴EF⊥AD在圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,
          ∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角.由
          題設(shè)條件知此二面角為直二面角,A1E⊥BE,又BE∩EF=E(2)
          ∴A1E⊥平面BEF,
          即A1E⊥平面BEP

          精英家教網(wǎng)(3)在圖2中,A1E不垂直A1B,
          ∴A1E是平面A1BP的垂線,又A1E⊥平面BEP,
          ∴A1E⊥BE.
          從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理)設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q,且A1Q交BP于點Q,則∠E1AQ就是A1E與平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.
          在△EBP中,BE=EP=2而∠EBP=60°,
          ∴△EBP是等邊三角形.又A1E⊥平面BEP,
          ∴A1B=A1P,
          ∴Q為BP的中點,且EQ=
          3
          ,又A1E=1,
          在Rt△A1EQ中,tan∠EA1Q=
          EQ
          A1E
          =
          3
          ,
          ∴∠EA1Q=60°,
          ∴直線A1E與平面A1BP所成的角為60°

          精英家教網(wǎng)在圖3中,過F作FM⊥A1P與M,連接QM,QF,
          ∵CP=CF=1,∠C=60°,
          ∴△FCP是正三角形,
          ∴PF=1.有PQ=
          1
          2
          BP=1

          ∴PF=PQ①,
          ∵A1E⊥平面BEP,EQ=EF=
          3

          ∴A1E=A1Q,
          ∴△A1FP≌△A1QP從而∠A1PF=∠A1PQ②,
          由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP,
          ∴∠QMP=∠FMP=90°,且MF=MQ,
          從而∠FMQ為二面角B-A1P-F的平面角.
          在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴A1P=
          5

          ∵MQ⊥A1P,∴MQ=
          A1Q•PQ
          A1P
          =
          2
          5
          5

          MF=
          2
          5
          5

          在△FCQ中,F(xiàn)C=1,QC=2,∠C=60°,由余弦定理得QF=
          3

          在△FMQ中,cos∠FMQ=
          MF2+MQ2-QF2
          2MF•MQ
          =-
          7
          8

          ∴二面角B-A1P-F的大小為π-arccos
          7
          8
          點評:在立體幾何學習中,我們要多培養(yǎng)空間想象能力,對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后的不變量,二面角的平面角的適當選取是立體幾何的核心考點之一.是高考數(shù)學必考的知識點之一.作,證,解,是我們求二面角的三步驟.作:作出所要求的二面角,證:證明這是我們所求二面角,并將這個二面角進行平面化,置于一個三角形中,最好是直角三角形,利用我們解三角形的知識求二面角的平面角.向量的運用也為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度,不過在向量運用過程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托題目的圖形,坐標才會容易求得.
          練習冊系列答案
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          AE
          EB
          =
          CF
          FA
          =
          1
          2
          (如圖1).將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B、A1C. (如圖2)求證:A1E⊥平面BEC.

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          如圖,在正三角形ABC中,D,E,F(xiàn)分別為AB,BC,AC的中點,G,H,I分別為DE,F(xiàn)C,EF的中點,將
          △ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐,則異面直線BG與IH所成的角為( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          在正三角形ABC中,D是BC上的點,AB=3,BD=2,則
          AB
          AD
           

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