Question

已知函數(shù)f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（I）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線2x+y-3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若b=

1

2

，試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和極值的定義建立方程組

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解之即可；
（II）討論a的正負(fù)，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="hg3i2d1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(-

1

2

，+∞).f′(x)=

2bx+2a+b

2x+1

由題意

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解得

a=- 3 2 b=1

∴a=-

3

2

．（5分）
（Ⅱ）若b=

1

2

，則f(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+1.f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

．
（1）令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＞0，由函數(shù)定義域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞0
①當(dāng)a≥0時(shí)，x∈(-

1

2

，+∞)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜0時(shí)，x∈(-2a-

1

2

，+∞)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（2）令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＜0，即2x+4a+1＜0
①當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f'（x）＜0無解；
②當(dāng)a＜0時(shí)，x∈(-

1

2

，-2a-

1

2

)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間(-

1

2

，+∞)為增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間(-2a-

1

2

，+∞)為增函數(shù)；
在區(qū)間(-

1

2

，-2a-

1

2

)為減函數(shù)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．