Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=0.5x2﹣bx，（b為常數(shù)）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與函數(shù)g（x）的圖象相切，求實數(shù)b的值；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在定義域上不單調，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）=lnx，所以 ，因此f′（1）=1，

所以函數(shù)f（x）的圖象在點（1，0）處的切線方程為y=x﹣1，

由 得x2﹣2（b+1）x+2=0．

由△=4（b+1）2﹣8=0，得

（2）解：因為h（x）=f（x）+g（x）=lnx+0.5x2﹣bx（x＞0），

所以 ，

若函數(shù)在定義域內不單調，則

可知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，

因為x＞0，設u（x）=x2﹣bx+1，因為u（0）=1＞0，

則只要 解得b＞2，

所以b的取值范圍是（2，+∞）

【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，可得切線的方程，聯(lián)立二次函數(shù)，由判別式為0，解方程即可得到b的值；（2）求出h（x）的導數(shù)，可得h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，由二次函數(shù)的性質，可得b的不等式，即可得到b的范圍．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．