Question

已知雙曲線的漸近線方程為，左焦點(diǎn)為F，過A（a，0），B（0，-b）的直線為l，原點(diǎn)到直線l的距離是．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=x+m交雙曲線于不同的兩點(diǎn)C，D，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)F．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程及原點(diǎn)到直線l的距離是，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)F，可知．將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，可得一元二次方程，利用韋達(dá)定理可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，從而得解．
解答：解：（1）∵，（2分）
原點(diǎn)到直線AB：的距離，．（4分）
∴．故所求雙曲線方程為 ．（6分）
（2）把y=x+m代入x²-3y²=3中消去y，整理得 2x²+6mx+3m²+3=0．（8分）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則，F(xiàn)（-2，0），
因?yàn)橐訡D為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)F，所以，（10分）
可得  （x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0把y₁=x₁+m，y₁=x₁+m代入，
解得：（13分）
解△＞0，得m²＞2，
∴滿足△＞0，
∴（14分）
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，應(yīng)注意判別式的驗(yàn)證．