Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)y=f(x)在∈(m，+∞)上的單調(diào)性；

(2)若，則當(dāng)x∈[m，m+1]時(shí)，函數(shù)y= f(x)的圖象是否總在函數(shù)圖象上方?請(qǐng)寫出判斷過程.

Answer 1

【答案】(1) 在(m,m+1)上單調(diào)遞減，在(m+1,+∞)上單調(diào)遞增； (2)見解析.

【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由(1)知在上單調(diào)遞減，所以其最小值為.因?yàn)?/span>在上的最大值為.所以只需判斷與的大小，其中.

(1) ，

當(dāng)x∈(m,m+1)時(shí)，，當(dāng)x∈(m+1，+∞)時(shí)，，

所以f(x)在(m,m+1)上單調(diào)遞減，在(m+1,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知f(x)在[m,m+1]上單調(diào)遞減，

所以其最小值為.

因?yàn)?/span>在上的最大值為.

所以下面判斷f(m+1)與的大小，即判斷與(1+x)x的大小，其中.

令，則，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以，單調(diào)遞增，

所以，

故存在，使得.

所以k(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以.

所以當(dāng)時(shí)，，

即，也即，

所以函數(shù)y=f(x)的圖象總在函數(shù)圖象上方.