Question

若P、q是方程x2-

10

x+t2=0的兩實(shí)根，且p，p-q，q成等比數(shù)列．
（1）求正數(shù)t的值．
（2）設(shè)an=

1

n(n+1)

，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．求證：log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P、q是方程x2-

10

x+t2=0的兩實(shí)根，利用韋達(dá)定理可求得p+q，pq，p，p-q，q成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項(xiàng)的定義可得（p-q）²=pq，然后配湊成韋達(dá)定理的形式，即可求得正數(shù)t的值；
（2）根據(jù)an=

1

n(n+1)

，利用裂項(xiàng)相消法可求其前n項(xiàng)和S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性可證log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

解答：解：（1）∵P、q是方程x2-

10

x+t2=0的兩實(shí)根，
∴p+q=

10

，pq=t²，
∵p，p-q，q成等比數(shù)列，
∴（p-q）²=pq，即（p+q）²=5pq，
∴10=5t²，
∵t＞0，∴t=

2

．
（2）∵an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1=

1

2

logt2，
而1-

1

n+1

≥1-

1

2

=

1

2

=log₂t，
∴log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

點(diǎn)評：此題是個(gè)中檔題．考查韋達(dá)定理的應(yīng)用和等比數(shù)列的性質(zhì)，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了方程的思想．以及學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．