Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-n²+9n+2（n∈N）．
（Ⅰ）判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求R_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=-n²+9n+2（n∈N），可求得a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

，從而可判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列；
（Ⅱ）由a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

可知：當(dāng)n≤5時(shí)，|a_n|=a_n，當(dāng)n＞5時(shí)，|a_n|=-a_n，從而可通過對(duì)n分類討論，來求和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=-n²+9n+2（n∈N），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=10，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+9n+2）-[-（n-1）²+9（n-1）+2]=10-2n，
∴a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

．
∴數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．
（Ⅱ） 由a_n=

10，n=1 10-2n，n≥2

可知：當(dāng)n≤5時(shí)，|a_n|=a_n，當(dāng)n＞5時(shí)，|a_n|=-a_n．
∴當(dāng)n≤5時(shí)，R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=-n²+9n+2，
當(dāng)n＞5時(shí)，R_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₅）-（a₆+a₇+…+a_n）
=-S_n+2S₅
=n²-9n-2+2（-25+45+2）
=n²-9n+42．
即：R_n=

-n2+9n+2，n≤5 n2-9n+42，n＞5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定與等差數(shù)列的求和，考查分類討論思想，屬于中檔題．