Question

已知關(guān)于x的不等式|3x-1|＜a有唯一的整數(shù)解，則方程（1-|2x-1|）a^x=1實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)關(guān)于x的不等式|3x-1|＜a有唯一的整數(shù)解求出a的取值范圍，然后將方程（1-|2x-1|）a^x=1實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化成y=1-|2x-1|與y=a^-x圖象的交點(diǎn)，結(jié)合圖形可得結(jié)論．
解答：解：當(dāng)a≤0時(shí)，不等式|3x-1|＜a沒(méi)有整數(shù)解
當(dāng)a＞0時(shí)，解得
在附近的整數(shù)有0與1，當(dāng)包含1時(shí)有兩個(gè)整數(shù)，不合題意
∴不等式的整數(shù)解為0，則，
解得1＜a＜2
方程（1-|2x-1|）a^x=1實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化成y=1-|2x-1|與y=a^-x圖象的交點(diǎn)
分別畫(huà)出函數(shù)y=1-|2x-1|與y=a^-x的圖象
根據(jù)可知有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程（1-|2x-1|）a^x=1實(shí)數(shù)根有2個(gè)
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，解決此類問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．