Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F₂與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且

|CD|

|ST|

=2

6

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），|CD|=8，|ST|=2•

b2

a

，利用

|CD|

|ST|

=2

6

可得：2a²=3b⁴，結(jié)合a²=b²+4，即可求得橢圓M的方程；
（2）方法1：設(shè)圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，利用向量的運(yùn)算，表示出

PE

•

PF

，從而求

PE

•

PF

的最大值轉(zhuǎn)化為求

NP

2的最大值，用坐標(biāo)表示出

NP

2，即可求得

PE

•

PF

的最大值；
方法2：設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），P（x₀，y₀），用坐標(biāo)表示出

PE

•

PF

，利用配方法，即可求得結(jié)論；
方法3：分類討論：直線EF的斜率存在與不垂直，EF的方程與圓的方程聯(lián)立，用坐標(biāo)表示出

PE

•

PF

，利用配方法，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），|CD|=8，|ST|=2•

b2

a

，
由

|CD|

|ST|

=2

6

可得：2a²=3b⁴，又a²=b²+4，則3b⁴-2b²-8=0，解得：b²=2，a²=4，
所以橢圓M的方程為M：

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）方法1：設(shè)圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，
則

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1．
從而求

PE

•

PF

的最大值轉(zhuǎn)化為求

NP

2的最大值．…（6分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P（x₀，y₀），所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．…（8分）
因?yàn)辄c(diǎn)N（0，2），所以

NP

2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12．…（10分）
因?yàn)?span id="nv6xcvb" class="MathJye">y0∈[-

2

，

2

]，所以當(dāng)y₀=-1時(shí)，

NP

2取得最大值12． 
所以

PE

•

PF

的最大值為11．…（12分）
方法2：設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），P（x₀，y₀），因?yàn)镋，F(xiàn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），所以

x2=-x1 y2=4-y1.

所以

PE

•

PF

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=（x₁-x₀）（-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（4-y₁-y₀）
=

x

2 0

-

x

2 1

+

y

2 0

-

y

2 1

+4y1-4y0=

x

2 0

+

y

2 0

-4y0-(

x

2 1

+

y

2 1

-4y1)．…（6分）
因?yàn)辄c(diǎn)E在圓N上，所以

x

2 1

+(y1-2)2=1，即

x

2 1

+

y

2 1

-4y1=-3．
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓M上，所以

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，即

x

2 0

=6-3

y

2 0

．…（10分）
所以

PE

•

PF

=-2

y

2 0

-4y0+9=-2(y0+1)2+11．
因?yàn)?span id="svi021h" class="MathJye">y0∈[-

2

 ， 

2

]，所以當(dāng)y₀=-1時(shí)，(

PE

•

PF

)max=11．…（12分）
方法3：①若直線EF的斜率存在，設(shè)EF的方程為y=kx+2，
由

y=kx+2 x2+(y-2)2=1

，解得x=±

1

k2+1

．…（6分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．
所以

PE

=(

1

k2+1

-x0，

k

k2+1

+2-y0)，

PF

=(-

1

k2+1

-x0，-

k

k2+1

+2-y0)…（8分）
所以

PE

•

PF

=x02-

1

k2+1

+(2-y0)2-

k2

k2+1

=x02+(2-y0)2-1=-2(y0+1)2+11．…（10分）
因?yàn)?span id="sor6kib" class="MathJye">y0∈[-

2

，

2

]，所以當(dāng)y₀=-1時(shí)，

PE

•

PF

取得最大值11．
②若直線EF的斜率不存在，此時(shí)EF的方程為x=0，
由

x=0 x2+(y-2)2=1

，解得y=1或y=3．
不妨設(shè)，E（0，3），F(xiàn)（0，1）． 因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），
所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．所以

PE

=(-x0，3-y0)，

PF

=(-x0，1-y0)．
所以

PE

•

PF

=x02+y02-4y0+3=-2(y0+1)2+11．
因?yàn)?span id="2jr7wuj" class="MathJye">y0∈[-

2

，

2

]，所以當(dāng)y₀=-1時(shí)，

PE

•

PF

取得最大值11．
綜上可知，

PE

•

PF

的最大值為11．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確表示

PE

•

PF

是關(guān)鍵．