Question

設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n為n（n=2，3，4，…，）階“期待數(shù)列”：①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；
（2）若某2k+1（k∈N*）階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用新定義直接利用等差數(shù)列，寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；
（2）利用某2k+1（k∈N^*）階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，通過公差為0，大于0．小于0，分別求解該數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）數(shù)列-

1

2

，0，

1

2

為三階期待數(shù)列…（1分）
數(shù)列-

3

8

，-

1

8

，

1

8

，

3

8

為四階期待數(shù)列，…..…..（3分）（其它答案酌情給分）
（2）設(shè)等差數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差為d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴（2k+1）a₁+

2k(2k+1)d

2

=0，
所以a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…（4分）
當(dāng)d=0時(shí)，與期待數(shù)列的條件①②矛盾，…（5分）
當(dāng)d＞0時(shí)，據(jù)期待數(shù)列的條件①②得：a _k+2+a _k+3+…+a _2k+1=

1

2

，
∴kd+

k(k-1)

2

d=

1

2

，即d=

1

k(k+1)

由a_k+1=0得 a _1+k•

1

k(k+1)

=0，即 a₁=-

1

k+1

，
∴a_n=-

1

k+1

+（n-1）

1

k(k+1)

=

n

k(k+1)

-

1

k

（n∈N*，n≤2k+1）．…（7分）
當(dāng)d＜0時(shí)，
同理可得kd+

k(k-1)

2

d=-

1

2

，即d=-

1

k(k+1)

由a_k+1=0得a1-k•

1

k(k+1)

=0，即a1=

1

k+1

，
∴an=

1

k+1

-(n-1)

1

k(k+1)

=-

n

k(k+1)

+

1

k

(n∈N*，n≤2n+1)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新數(shù)列新定義的應(yīng)用，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，考查分析問題解決問題的能力，難度中，考查計(jì)算能力．