Question

（2011•南充一模）在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，先抽一張卡片將標(biāo)號(hào) 記為x再放回抽出的卡片，又從盒子中抽一張卡片將標(biāo)號(hào)記為y，記隨機(jī)變量ξ=|x-2|+|y-x|．
①求ξ的最大值，并求出事件“ξ取得最大值”的概率；
②求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意知x、y可能的取值為1、2、3，做出要用的變量ξ的可能取得的最大值，根據(jù)等可能事件的概率寫(xiě)出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，求得概率．
（II）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到概率，即可寫(xiě)出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值為1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ≤3，且當(dāng)x=1，y=3或x=3，y=1時(shí)，ξ=3．
因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為3．
∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種，
∴P（ξ=3）=

2

9

即隨機(jī)變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為

2

9

；
（Ⅱ）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，3．
∵ξ=0時(shí)，只有x=2，y=2這一種情況，
ξ=1時(shí)，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，
ξ=2時(shí)，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況．
∴P(ξ=0)=

1

9

，P(ξ=1)=

4

9

，P(ξ=2)=

2

9

，P(ξ=3)=

2

9

．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 9	4 9	2 9	2 9

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

=

14

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．