Question

如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處．AB=20km，BC=10km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設(shè)管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
（i）設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)；
（ii）設(shè)OP=x（km），將y表示成x的函數(shù)；
（2）請你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短．

Answer 1

【答案】分析：（1）（i）根據(jù)題意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函數(shù)的關(guān)系可推得OP，從而得出y的函數(shù)關(guān)系式，注意最后要化為最簡形式，確定自變量范圍．（ii）已知OP，可得出OQ的表達(dá)式，由勾股定理推出OA，易得y的函數(shù)關(guān)系式．
（2）欲確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短也就是最小值問題，（1）中已求出函數(shù)關(guān)系式，故可以利用導(dǎo)數(shù)求解最值，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合．
解答：解：（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
則，故，又OP=10-10tanθ，
所以，
所求函數(shù)關(guān)系式為
②若OP=x（km），則OQ=10-x，所以O(shè)A=OB=
所求函數(shù)關(guān)系式為

（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，
令y′=0得sin，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202111833956674704/SYS201312021118339566747020_DA/9.png">，所以θ=，
當(dāng)時(shí)，y′＜0，y是θ的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，y′＞0，y是θ的增函數(shù)，所以當(dāng)θ=時(shí)，．這時(shí)點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊km處．
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用．
①生活中的優(yōu)化問題，往往涉及到函數(shù)的最值，求最值可利用單調(diào)性，也可直接利用導(dǎo)數(shù)求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合．用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大（小）值時(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)．