Question

已知函數(shù)y=a^x+2-2（a＞0，a≠1）過(guò)定點(diǎn)A（x，y），且點(diǎn)A（x，y）滿足方程mx+ny+2=0（m＞0，n＞0），則

1

m

+

2

n

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：最值問(wèn)題經(jīng)常利用均值不等式求解，適時(shí)應(yīng)用“1”的代換是解本題的關(guān)鍵．函數(shù)y=a^x+2-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，知A（-2，-1），點(diǎn)A在直線mx+ny+2=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，用1的變換構(gòu)造出可以用基本不等式來(lái)求最值．

解答：解：由已知定點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，-1），由點(diǎn)A在直線mx+ny+2=0上，
∴-2m-n+2=0，即m+

1

2

n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=(

1

m

+

2

n

)(m+

1

2

n)=

m+ 1 2 n

m

+

2m+n

n

=2+

1 2 n

m

+

2m

n

≥2+2•

1 2 n m • 2m n

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=

1

2

，n=1時(shí)取等號(hào)．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)均值不等式中等號(hào)不成立時(shí)，常利用函數(shù)單調(diào)性求最值．也可將已知條件適當(dāng)變形，再利用均值不等式，使得等號(hào)成立．均值不等式是不等式問(wèn)題中的確重要公式，應(yīng)用十分廣泛．在應(yīng)用過(guò)程中，學(xué)生常忽視“等號(hào)成立條件”，特別是對(duì)“一正、二定、三相等”這一原則應(yīng)有很好的掌握．