Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函數(shù)
（1）求b的值；
（2）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對?t∈R，不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義域為R的奇函數(shù)圖象必要原點(diǎn)，將（0，0）代入可得b值；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用分析法，可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，我們可將不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為k＞2t-t²=-（t-1）²+1在R上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，可得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵定義域為R的函數(shù)f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函數(shù)
∴f（0）=0
即b=1
（2）f(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
因為1+2^x隨x的增大而增大，
所以f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是減函數(shù)．
（3）因為f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是奇函數(shù)
∴不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0可化為
f（t-t²）＞f（k-t）
又∵f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是減函數(shù)
t-t²＜k-t
即k＞2t-t²=-（t-1）²+1在R上恒成立，
∴k＞1

點(diǎn)評：本題是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用其中根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵．