Question

對(duì)定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，且對(duì)任意的都有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的“型”函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)是上的“型”函數(shù)；
（2）設(shè)是（1）中的“型”函數(shù)，若不等式對(duì)一切的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)是區(qū)間上的“型”函數(shù)，求實(shí)數(shù)和的值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析;（2）;（3）．

試題分析：（1）根據(jù)題意可將函數(shù)中的絕對(duì)值去掉可得一個(gè)分段函數(shù)，可作出函數(shù)的圖象，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由此可易得證; （2）由（1）中的函數(shù)不難求出函數(shù)的最小值，這們即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求恒成立，這是一個(gè)關(guān)于的含有絕對(duì)值的不等式，去掉絕對(duì)值可得，然后采用先分開(kāi)后合并的方法求出此不等式的解集; （3）根據(jù)題中“型”函數(shù)的定義，則可假設(shè)存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，這樣即可得到一個(gè)恒等式，即對(duì)任意恒成立，則對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相等，即可求出對(duì)應(yīng)的，注意要回代檢驗(yàn)一下，判斷其余的是否均大于這個(gè)最小值．
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴ 存在閉區(qū)間和常數(shù)符合條件．                        4分
（2）對(duì)一切的恒成立，
∴ ，                        6分
解得 ．                                                    10分
（3）存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對(duì)任意的，
都有，即，
∴ 對(duì)任意恒成立
∴ 或                              12分
① 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，
由題意知，符合條件；                                     14分
②當(dāng)時(shí)，  
∴不符合要求；                                          16分
綜上，．