Question

給出下列命題，其中正確的命題是

 

（把所有正確的命題的選項(xiàng)都填上）．
①函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
②在R上連續(xù)的函數(shù)f（x）若是增函數(shù)，則對(duì)任意x₀∈R均有f′（x₀）＞0成立．
③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．
④若P為雙曲線x²-

y2

9

=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且|PF₂|=4，則|PF₁|=2或6
⑤已知函數(shù)y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數(shù)，其圖象與直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值為π，則ω的值為2，θ的值為

π

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型

分析：對(duì)于①，令x-2=t，則2-x=-t，由y=f（t）和y=f（-t）的對(duì)稱性，從而得到函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象的對(duì)稱；
對(duì)于②，可舉反例，函數(shù)y=x³，即可判斷；
對(duì)于③，考慮側(cè)面的一側(cè)棱和底面的一底邊相等，即可判斷；
對(duì)于④，討論P(yáng)的位置在左支上，還是在右支上，結(jié)合雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值，判斷出P為右支上一點(diǎn)，再由雙曲線的定義，即可求出|PF₁|；
對(duì)于⑤，由函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用誘導(dǎo)公式得，θ=

π

2

，再根據(jù)其圖象與直線y=2的交點(diǎn)，求出ωx=2kπ，再根據(jù)|x₁-x₂|的最小值為π，取k=0，k=1，求出ω．

解答： 解：對(duì)于①，令x-2=t，則2-x=-t，則y=f（t）和y=f（-t）關(guān)于直線t=0對(duì)稱，即關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
故①正確；
對(duì)于②，在R上連續(xù)的函數(shù)f（x），若是增函數(shù)，則對(duì)任意x₀∈R均有f′（x₀）≥0成立，
比如f（x）=x³，f′（x）≥0，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，側(cè)面為等腰三角形，不一定就是側(cè)棱為兩腰，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，若P為雙曲線x²-

y2

9

=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|PF₂|=4，若P在左支上，
則|PF₂|的最小值為

10

+1＞4，故P在右支上，|PF₁|-|PF₂|=2，故|PF₁|=6，故④錯(cuò)；
對(duì)于⑤，函數(shù)y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數(shù)，則由誘導(dǎo)公式得，θ=

π

2

時(shí)，
y=2sin（ωx+

π

2

）=2cos（ωx）為偶函數(shù)，又其圖象與直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
即cos（ωx）=1，ωx=2kπ，x=

2kπ

ω

，若|x₁-x₂|的最小值為π則可取k=0，1，
即有

2π

ω

=π，ω=2，故⑤正確．
故答案為：①⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假為載體，考查兩函數(shù)圖象的對(duì)稱和導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及雙曲線的定義及應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．