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        1. 一個正三棱柱恰好有一個內(nèi)切球(球與三棱柱的兩個底面和三個側(cè)面都相切)和一個外接球(球經(jīng)過三棱柱的6個頂點),則此內(nèi)切球與外接球表面積之比為
           
          分析:設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a,當(dāng)球外切于正三棱柱時,球的半徑R1等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距,求出正三棱柱的高為,當(dāng)球外接正三棱柱時,球的圓心是正三棱柱高的中點,且球的圓心與正三棱柱兩個底面正三角形構(gòu)成兩個正三棱錐,求出外接球的半徑,即可求出內(nèi)切球與外接球表面積之比.
          解答:解:設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a,其內(nèi)切球的半徑為R
          當(dāng)球外切于正三棱柱時,球的半徑R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到對邊的距離即R=
          3
          3
          a
          ,到相對棱的距離是
          2
          3
          3
          a

          又正三棱柱的高是其內(nèi)切球半徑的2倍,故正三棱柱的高為
          2
          3
          3
          a
          ,
           球外接正三棱柱時,球的圓心是正三棱柱高的中點,且球的圓心與正三棱柱兩個底面正三角形構(gòu)成兩個正三棱錐,頂點在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到頂點的距離
          2
          3
          3
          a
          ,棱錐的高為
          3
          3
          a

          故正三棱錐外接球的半徑滿足R22=(
          2
          3
          3
          a)
          2
          +(
          3
          3
          a)
          2
          =
          5
          3
          a2
          ,
          ∴內(nèi)切球與外接球表面積之比為4(πR2):(4πR22)=R2:R22=1:5.
          故答案為1:5
          點評:本題是基礎(chǔ)題,考查空間想象能力,分析問題解決問題的能力,是?碱}型,求內(nèi)切球與外接球的半徑是本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          一個正三棱柱恰好有一個內(nèi)切球(即恰好與兩底面和三個側(cè)面都相切)和一外接球(即恰好經(jīng)過三棱柱的6個頂點),此內(nèi)切球與外接球的表面積之比為(    )

          A.1∶            B.1∶3

          C.1∶           D.1∶5

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