Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項為

4

3

，公比為-

1

3

，其前n項和為S_n，若A≤Sn-

1

Sn

≤B對任意n∈N^*恒成立，則B-A的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先利用等比數(shù)列的求和公式求出S_n，求出S_n的范圍，確定y=S_n-

1

Sn

，可知函數(shù)單調(diào)遞增，求出最小值、最大值，即可求出B-A的最小值．

解答：解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項為

4

3

，公比為-

1

3

，
∴S_n=

4 3 [1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=1-(-

1

3

)n
令t=(-

1

3

)n，則-

1

3

≤t≤

1

9

，S_n=1-t，∴

8

9

≤Sn≤

4

3

由y=S_n-

1

Sn

，可知函數(shù)單調(diào)遞增，∴S_n-

1

Sn

的最小值為-

17

72

，最大值為

7

12

，
∵A≤Sn-

1

Sn

≤B對任意n∈N^*恒成立，則B-A的最小值為

7

12

-(-

17

72

)=

59

72

．
故答案為：

59

72

．

點評：本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．