Question

．已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是它左支上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為d，雙曲線的一條漸近線為y＝x，問是否存在點(diǎn)P，使｜PF₁｜、｜PF₂｜成等比數(shù)列？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

假設(shè)存在點(diǎn)P(x₀，y₀)滿足題中條件．

∵雙曲線的一條漸近線為y＝x，∴，∴b²＝3a²，c²－a²＝3a²， ＝2．即e＝2．

由＝2得，

｜PF₂｜＝2｜PF₁｜          ①

∵雙曲線的兩準(zhǔn)線方程為x＝±，

∴｜PF₁｜＝｜2x₀＋2·｜＝｜2x₀＋a｜，｜PF₂｜＝｜2x₀－2·｜＝｜2x₀－a｜．

∵點(diǎn)P在雙曲線的左支上，∴｜PF₁｜＝－(a＋ex₀)，｜PF₂｜＝a－ex₀，代入①得：a－ex₀＝－2(a＋ex₀)，∴x₀＝－a，代入＝1，得y₀＝±a．

∴存在點(diǎn)P使d、｜PF₁｜、｜PF₂｜成等比數(shù)列，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－a，±a)．

解析:

同答案