Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+

3

和2-

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．
（3）如圖，過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的幾何性質(zhì)可得焦點(diǎn)到長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為a+c和a-c，再把所給數(shù)值代入即可．
（2）斜率k的取值范圍，須將k用其它參數(shù)表示，先設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，求x₁+x₂和x₁x₂，再根據(jù)∠AOB為銳角得到向量

OA

，

OB

的數(shù)量積大于0，用直線l的斜率k表示

OA

，

OB

的數(shù)量積，即可得到k的范圍．
（3）先根據(jù)橢圓的對稱性判斷PQSR是菱形，原點(diǎn)O到各邊的距離相等．設(shè)四邊形PQSR的一條對角線的方程，根據(jù)菱形對角線互相垂直，可得另一條對角線的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，再借助菱形各邊長相等，即可得到a，b滿足的條件．

解答：解：（1）由題意得

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得a=2，c=

3

，b=1
所求的方程為

x2

4

+y2=1
（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁）
由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，∴k∈（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞）（1）
又x₁+x₂=

-16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

由0°＜∠AOE＜90°?

OA

•

OB

＞0∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

12(1+k2)

1+4k2

+2k

-16k

1+4k2

+4＞0
∴-2＜k＜2  （2）
由（1）（2）得：k∈（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）．
（3）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點(diǎn)O到各邊的距離相等．
當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時(shí)，直線PQ的方程為

x

a

+

y

b

=1，由d=1得

1

a2

+

1

b2

=1，
當(dāng)P不在y軸上時(shí)，設(shè)直線PS的斜率為k，P（x₁，kx₁），則直線RQ的斜率為-

1

k

，Q（x₂，-

1

k

x2）
由

y=kx x a2 + y b2 =1

，得

1

x12

=

1

a2

+

k2

b2

（1），同理

1

x22

=

1

a2

+

1

k2b2

（2）
在Rt△OPQ中，由

1

2

d|PQ|=

1

2

|OP||OQ|，即|PQ|²=|OP|²•|OQ|²
所以(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=[x12+(kx1)2][x22+(

x2

k

)2]，化簡得

k2

x22

+ 

1

x12

=1+k2，
k²（

1

a2

+

1

k2b2

）+

1

a2

+

k2

b2

=1+k²，即

1

a2

+

1

b2

=1．
綜上，d=1時(shí)a，b滿足條件

1

a2

+

1

b2

=1

點(diǎn)評：本體考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，以及判斷直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)，韋達(dá)定理的應(yīng)用．