Question

（2012•普陀區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}是首項為2的等比數(shù)列，且滿足an+1=pan+2n(n∈N*)．
（1）求常數(shù)p的值和數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、…第3n-2項，…，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列{b_n}，試寫出數(shù)列
{b_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，試求數(shù)列{b_n]的前n項和T_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）由首項和遞推關(guān)系求出數(shù)列的前三項，根據(jù)等比數(shù)列的定義求出常數(shù)p，從而求得等比數(shù)列的通項公式．
（2）剩下的為第2，3，5，6，8，9，11，12…項，新數(shù)列的奇數(shù)項為原來等比數(shù)列的第2，5，8，11…項，也成等比數(shù)列，公比為2³=8，首項變?yōu)樵瓉淼牡诙�項，由此求得b_2n-1 ．
同理，求得偶數(shù)項b_2n ．從而求得{b_n}的通項公式．
（3）當n=2k，k∈N^*時，T_n =（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k ）根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式求出結(jié)果．當n=2k-1，k∈N^*時，T_n =（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2 ），
再根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式求出結(jié)果．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項為2的等比數(shù)列，且滿足an+1=pan+2n(n∈N*)，
∴a₁=2，a₂=2p+2，a₃=2p²+2p+4．
再由存在常數(shù)p，使數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a22=a₁•a₃，解得 p=1．
故公比q=

a2

a1

=2，a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、…第3n-2項，…，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列{b_n}，
剩下的為原數(shù)列的第2，3，5，6，8，9，11，12…項，
新數(shù)列的奇數(shù)項為原來等比數(shù)列的第2，5，8，11…項，
且也成等比數(shù)列，公比為2³=8，首項變?yōu)樵瓉淼牡诙�項，即b₁=a₂=4，
所以新數(shù)列的奇數(shù)項b_2n-1=4•8^n-1=2^3n-1．
同理，偶數(shù)項為第3，6，9，12…項，也成等比數(shù)列，公比為2³=8，首個偶數(shù)項變?yōu)樵瓉淼牡谌�項，即b₂=a₃=8，即 b_2n=8×8^n-1=2³ⁿ．
即b_n=

23k-1， n=2k-1 23k ， n=2k

，k∈N^*．
（3）在（2）的條件下，當n=2k，k∈N^*時，
數(shù)列{b_n]的前n項和T_n =（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k ）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k)

1-8

=

12×(8k-1)

7

=

12×(8 n 2 -1)

7

．
當n=2k-1，k∈N^*時，數(shù)列{b_n]的前n項和T_n =（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2 ）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k-1)

1-8

=

5•8 n+1 2 -12

7

．
綜上，數(shù)列{b_n]的前n項和T_n =

12×(8 n 2 -1) 7  ，  n=2k 5•8 n+1 2 -12 7   ， n=2k-1

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，由遞推關(guān)系求通項，等比數(shù)列的前n項和公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．