Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²-2。
（1）設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，其中a₁=3。若點(diǎn)（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N*）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，求證：點(diǎn)（n，S_n）也在y=f′（x）的圖象上；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（a-1，a）內(nèi)的極值。

Answer 1

解：（1）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110916/201109161409137341089.gif">
所以
由點(diǎn)在函數(shù)y=f′（x）的圖象上
又
所以
所以
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110916/201109161409139211040.gif">
所以
故點(diǎn)也在函數(shù)y=f′（x）的圖象上；
（2）
由得
當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

注意到，從而
①當(dāng)，即時(shí)，f（x）的極大值為
此時(shí)f（x）無極小值；
②，即時(shí)，f（x）的極小值為f（0）=-2，此時(shí)f（x）無極大值；
③當(dāng)a≤-2或-1≤a≤0或a≥1時(shí)，f（x）既無極大值又無極小值。